Putnam 竞赛深度调研报告

引言：Putnam 竞赛的重要性与调研目的

威廉·洛厄尔·普特南数学竞赛（William Lowell Putnam Mathematical Competition，简称 Putnam 竞赛）是北美地区历史最悠久、声誉最卓著的大学本科生数学竞赛，1938年由美国数学协会（MAA）首次举办。

本篇我们从竞赛的基本信息入手，详细梳理其历史背景、组织机构与时间安排，解析竞赛规则，分析竞赛的题目特点，覆盖的数学领域、难度分级、典型解题方法等。

第二部分：基本信息

Putnam 竞赛由美国数学协会（MAA）主办，是面向美国和加拿大本科生的顶级数学竞赛。它的历史可以追溯到1938年，除了在第二次世界大战期间（1943-1945年）曾短暂中断外，一直保持着每年举办一次的传统，并形成了稳定的竞赛文化和制度。第86届Putnam竞赛计划于2025年12月6日（星期六）举行。

竞赛的根本宗旨在于识别和表彰具有卓越数学潜质的本科生，并通过高水平的智力挑战激发他们对数学的兴趣。竞赛不仅考察个人的解题能力，还通过团队排名来鼓励大学积极培养数学人才，从而促进了整个北美地区的高等数学教育和学术文化的发展。

关键信息速览：

要素	官方信息
竞赛日期	每年12月的第一个星期六
主办机构	美国数学协会 (MAA)
参赛对象	美国和加拿大的在读本科生
历史	始于1938年

第三部分：竞赛规则

Putnam 竞赛的规则体系严谨而详尽，旨在确保竞赛的公平性和高标准。

参赛资格与要求：

• 学籍要求：参赛者必须是美国或加拿大高等院校的在读本科生，且在竞赛时尚未获得学士学位。国籍不受限制。
• 参赛次数：每位学生的参赛次数最多为四次。
• 报名方式：竞赛不接受个人报名。所有参赛者必须通过其所在学校的竞赛监督员（Supervisor）进行统一注册。

竞赛形式与流程：

• 考试结构：竞赛分为上午和下午两场（Session A 和 Session B），每场考试时长为3小时，中间有午餐休息时间。
• 题目数量：每场考试包含6道题目，共计12道题。题目均为证明题，要求参赛者给出完整、严谨的解答过程。
• 考试环境：竞赛为闭卷考试。参赛者禁止使用任何计算器、电脑、参考资料、笔记、绘图工具等辅助设备。手机等通讯设备必须关闭并妥善保管。

评分标准与奖项设置

• 评分方式：每道题目的分值为 0 到 10 分，个人满分为 120 分。

• 团队成绩：团队成绩并非简单地将队员分数相加，而是取每所学校排名前三的参赛者的个人名次之和，名次和越小，团队排名越高。

• 奖项设置：

  • 个人奖：
    • Putnam Fellows：授予排名前五的参赛者，是竞赛的最高个人荣誉，并附有2,500美元奖金。
    • 其他个人奖项：排名第6至第100位的参赛者也会获得不同等级的奖金或荣誉提名。
    • Elizabeth Lowell Putnam Prize：特别为表现出色的女性参赛者设立，奖金为1,000美元。
  • 团队奖：
    • 排名前五的大学团队会获得高额奖金（第一名团队可获得25,000美元），其团队成员也会获得相应的个人奖金。

2024年（第85届）Putnam竞赛的主要奖项及奖金金额参考：

奖项类别	排名/范围	奖金金额 (美元)
Putnam Fellows	1–5	$2,500/人
Next Eleven	6–16	$1,000/人
Elizabeth Lowell Putnam Prize	1人	$1,000
团队第一名	校队	$25,000 (队员各$1,000)
团队第二名	校队	$20,000 (队员各$800)

第四部分：题目特点

Putnam 竞赛的题目以其深度、广度和创造性而闻名。题目覆盖了本科数学的几乎所有核心领域，但其出题方式并非简单地按照课程划分。最常见的领域包括：

• 代数：包括多项式理论、线性代数（矩阵、行列式、特征值）、群论、环论等抽象代数概念。
• 分析：涉及实分析和复分析，如极限、级数、微积分、微分方程、不等式和函数构造。
• 数论：涵盖整数的性质、同余、素数、丢番图方程等经典主题。
• 组合数学：包括计数问题、图论、生成函数、概率方法和组合游戏。
• 几何：以解析几何和组合几何为主，常常与代数或不等式相结合。

一个显著的特点是跨领域融合。一道题目常常会巧妙地将多个数学领域的概念和工具结合起来，要求参赛者具备多视角的解题能力。例如，一个几何问题可能需要用线性代数来解决，而一个数论问题可能最终需要借助分析中的估计技巧。

难度特点与数据分析

Putnam 竞赛的难度极高，这在得分分布上得到了清晰的体现。通常，A1和B1题被认为是“入口题”，相对容易，旨在让大多数参赛者有题可做。而A6和B6题则是竞赛中最具挑战性的部分，即使是顶尖选手也常常无法解答。

以去年(2024年, 第85届）竞赛为例，下表展示了这些顶尖选手在每道题上获得满分（10分）、零分（0分）以及未作答（NA）的人数统计：

题号	获得满分(10分)人数	获得零分(0分)人数	未作答(NA)人数
A1	449	1	5
A2	93	85	58
A3	29	154	272
A4	112	34	229
A5	5	163	327
A6	0	65	429
B1	375	10	13
B2	81	84	152
B3	75	43	163
B4	95	77	219
B5	1	41	299
B6	0	29	467

数据来源：基于 Kiran S. Kedlaya 发布的2024年Putnam竞赛统计数据，样本为排名前504的参赛者。

从数据中可以清晰地看到：

• 易题层（A1, B1）：绝大多数顶尖选手都能获得满分，是确保得分的基本盘。
• 中等题：满分人数显著下降，同时有大量选手得到零分或选择不作答。
• 极难题（A5, A6, B5, B6）：获得满分的人数屈指可数，A6和B6甚至无人获得满分。未作答的比例极高，反映了这些题目极强的挑战性。

典型解题方法与思维方式

要在Putnam竞赛中取得成功，仅仅掌握课本知识是远远不够的。竞赛更看重的是一些通用的、高阶的数学思维和解题策略。常见的核心方法包括：

1. 结构识别与归约：洞察问题背后的数学结构（如对称性、不变量、极端情况），将复杂问题简化或转化为更熟悉的形式。
2. 构造法：通过巧妙地构造数学对象（如函数、序列、图形）来证明命题或找到反例。
3. 递推与归纳：对于涉及序列、过程或离散结构的问题，建立递推关系是核心步骤。
4. 不等式与估计：在分析类题目中，灵活运用各种经典不等式（如均值不等式、柯西-施瓦茨不等式）进行精确的放缩和估计至关重要。
5. 概率方法：将确定性问题置于概率框架下，利用期望、随机变量等工具来解决组合和存在性问题，是一种非常强大的思想。
6. 双重计数：从两个不同的角度对同一个量进行计数，从而建立恒等式或不等式，是组合数学中的经典技巧。
7. 工具性知识的活用：将线性代数中的矩阵、特征值，或者代数中的多项式根与系数关系等工具，创造性地应用到其他领域的问题中。

第五部分：影响与意义

Putnam 竞赛的影响力远远超出了比赛本身，它在北美乃至全球的数学教育和学术界都扮演着至关重要的角色。

对数学教育的贡献

Putnam 竞赛是推动大学数学教育，特别是精英教育的重要催化剂。为了备战竞赛，许多顶尖大学（如麻省理工学院、哈佛大学等）都开设了专门的“Putnam研讨班”（Putnam Seminar）。这些课程通常由经验丰富的教授指导，带领学生系统性地学习高等解题技巧、进行高强度模拟训练，并深入探讨历年真题。这不仅极大地提升了参赛学生的数学水平，更在校园内营造了浓厚的钻研难题、追求卓越的学术氛围。这种“以赛促学”的模式，有效地将竞赛挑战转化为高质量的教育资源，深化了学生对本科数学核心内容的理解。

获奖者的后续发展

Putnam 竞赛是发现未来数学领袖的摇篮。纵观其历史，众多获奖者，特别是最高荣誉“Putnam Fellow”的获得者，后来都成为了世界级的数学家和科学家。最著名的例子之一是菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主约翰·米尔诺（John Milnor）。这种从竞赛优胜者到学术大师的成长轨迹，反复印证了Putnam竞赛在早期人才识别方面的精准性和有效性。对于参赛者个人而言，获得优异成绩是其学术生涯中一份极具分量的履历，能为他们申请顶尖研究生院和获取科研机会提供强大的助力。

在学术界的声誉与地位

Putnam 竞赛被公认为北美地区最具声望、难度最高的本科生数学竞赛。其试题质量之高、评分标准之严、区分度之强，使其在学术界享有无与伦比的权威性。一所大学的团队成绩，尤其是能否进入前五名，常常被视为其本科数学教育实力的象征。例如，麻省理工学院（MIT）曾创下连续五年蝉联团体冠军的辉煌纪录，这被广泛认为是其卓越数学人才培养体系的集中体现。

与其他数学竞赛的比较

与国际数学奥林匹克（IMO）等面向中学生的竞赛相比，Putnam 竞赛在多个维度上具有其独特性：

• 参赛对象：Putnam 面向本科生，而 IMO 面向中学生。
• 知识范围：Putnam 覆盖整个本科数学课程，包括了更多的高等和抽象的课题。
• 题目风格：Putnam 极度强调严格、完整的证明，其风格更接近于真正的数学研究。
• 赛制：长达六小时、包含12道题目的马拉松式赛制，对参赛者的耐力、时间管理和心理素质都提出了极高的要求。

附录 – 2023 问题分析

A组题目

• A1 三角函数乘积的二阶导数
• A2 多项式的函数方程
• A3 微分不等式系统
• A4 正二十面体的向量逼近
• A5 三进制表示与复数方程
• A6 奇偶性博弈论

B组题目

• B1 网格硬币移动问题
• B2 二进制表示中的1的个数
• B3 锯齿序列的期望长度
• B4 分段二次函数的优化
• B5 置换的模运算性质
• B6 丢番图方程计数矩阵的行列式

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A组题目

A1 三角函数乘积的二阶导数

题目：对于正整数 $n$，设 $f_{n}(x) = \cos (x)\cos (2x)\cos (3x)\dots \cos (nx)$。求最小的 $n$ 使得 $|f_{n}^{\prime \prime}(0)| > 2023$。

分析：

• 题目类型：微积分、三角函数
• 核心思路：需要计算多个余弦函数乘积的二阶导数在 $x=0$ 处的值
• 解题要点：
  • 利用乘积法则逐步求导
  • 在 $x=0$ 处，$\cos(kx) = 1$，$\sin(kx) = 0$
  • 二阶导数会涉及到 $\sum k^2$ 的计算
• 难度评估：中等，主要考查导数计算技巧

A2 多项式的函数方程

题目：设 $n$ 是偶数正整数。设 $p$ 是次数为 $2n$ 的首一实多项式，即 $p(x) = x^{2n} + a_{2n - 1}x^{2n - 1} + \dots + a_{1}x + a_{0}$，其中 $a_{0},\ldots ,a_{2n - 1}$ 是实系数。假设对于所有满足 $1\leq |k|\leq n$ 的整数 $k$，都有 $p(1 / k) = k^{2}$。求所有其他满足 $p(1 / x) = x^{2}$ 的实数 $x$。

分析：

• 题目类型：多项式理论、函数方程
• 核心思路：利用给定条件构造多项式，然后求解函数方程
• 解题要点：
  • 构造辅助多项式 $q(x) = x^{2n}p(1/x) - x^2$
  • 利用已知的 $2n$ 个根来确定多项式的性质
  • 分析多项式的对称性
• 难度评估：较难，需要深入的多项式理论知识

A3 微分不等式系统

题目：确定最小的正实数 $r$，使得存在可微函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 和 $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 满足：

(a) $f(0) > 0$
(b) $g(0) = 0$
© $|f^{\prime}(x)|\leq |g(x)|$ 对所有 $x$ 成立
(d) $|g^{\prime}(x)|\leq |f(x)|$ 对所有 $x$ 成立
(e) $f(r) = 0$

分析：

• 题目类型：微分方程、优化问题
• 核心思路：寻找满足耦合微分不等式的函数对
• 解题要点：
  • 考虑 $f^2 + g^2$ 的性质
  • 利用微分不等式的约束条件
  • 可能涉及三角函数或指数函数的组合
• 难度评估：很难，需要深入的微分方程理论

A4 正二十面体的向量逼近

题目：设 $v_{1},\ldots ,v_{12}$ 是从原点到正二十面体顶点的单位向量。证明：对于 $\mathbb{R}^{3}$ 中的每个向量 $v$ 和每个 $\epsilon >0$，都存在整数 $a_{1},\ldots ,a_{12}$ 使得 $\| a_{1}v_{1} + \dots +a_{12}v_{12} - v\| < \epsilon$。

分析：

• 题目类型：几何学、线性代数、数论
• 核心思路：证明正二十面体顶点向量的整数线性组合在 $\mathbb{R}^3$ 中稠密
• 解题要点：
  • 利用正二十面体的对称性
  • 可能需要用到格理论或丢番图逼近
  • 关键是证明这12个向量张成的格在 $\mathbb{R}^3$ 中稠密
• 难度评估：很难，涉及高深的几何和数论

A5 三进制表示与复数方程

题目：对于非负整数 $k$，设 $f(k)$ 是 $k$ 的三进制表示中1的个数。求所有复数 $z$ 使得：

$$\sum_{k = 0}^{31010 - 1}(-2)^{f(k)}(z + k)^{2023} = 0$$

分析：

• 题目类型：数论、复分析、组合数学
• 核心思路：分析三进制表示的性质与复数多项式的根
• 解题要点：
  • $31010 = 3^{10}$，这不是巧合
  • 需要利用三进制表示的结构性质
  • 可能涉及单位根和对称性
• 难度评估：很难，需要深入的数论和复分析知识

A6 奇偶性博弈论

题目：Alice和Bob玩一个游戏，他们轮流从1到 $n$ 中选择整数。在选择任何整数之前，Bob选择"奇数"或"偶数"作为目标。第一轮Alice选择 $n$ 个整数中的一个，第二轮Bob选择剩余整数中的一个。他们继续轮流选择尚未被选择的整数，直到第 $n$ 轮，游戏结束。如果集合 $\{k:$ 数字 $k$ 在第 $k$ 轮被选择$\}$ 的奇偶性与Bob的目标一致，则Bob获胜。对于哪些 $n$ 值，Bob有必胜策略？

分析：

• 题目类型：博弈论、组合数学
• 核心思路：分析在最优策略下的奇偶性控制
• 解题要点：
  • 需要考虑Alice和Bob的最优策略
  • 分析不同 $n$ 值下的游戏结构
  • 可能需要用到奇偶性的数学性质
• 难度评估：中等偏难，需要博弈论思维

B组题目

B1 网格硬币移动问题

题目：考虑一个 $m \times n$ 的单位正方形网格，用 $(i,j)$ 索引，其中 $1\leq i\leq m$ 和 $1\leq j\leq n$。有 $(m - 1)(n - 1)$ 枚硬币，初始时放置在 $(i,j)$ 位置，其中 $1\leq i\leq m - 1$ 和 $1\leq j\leq n - 1$。如果一枚硬币占据位置 $(i,j)$（其中 $i\leq m - 1$ 和 $j\leq n - 1$），且位置 $(i + 1,j)$、$(i,j + 1)$ 和 $(i + 1,j + 1)$ 都是空的，那么一个合法移动是将硬币从 $(i,j)$ 滑动到 $(i + 1,j + 1)$。从初始配置开始，通过一系列（可能为空）合法移动能够达到多少种不同的硬币配置？

分析：

• 题目类型：组合数学、动态规划
• 核心思路：分析硬币移动的约束条件，计算可达配置数
• 解题要点：
  • 硬币只能沿对角线向右下移动
  • 移动需要满足特定的空位条件
  • 可能与格路径或Young tableaux相关
• 难度评估：中等偏难，需要仔细分析移动规则

B2 二进制表示中的1的个数

题目：对于每个正整数 $n$，设 $k(n)$ 是 $2023 \cdot n$ 的二进制表示中1的个数。$k(n)$ 的最小值是多少？

分析：

• 题目类型：数论、二进制表示
• 核心思路：寻找使得 $2023n$ 的二进制表示中1最少的 $n$
• 解题要点：
  • 分析 $2023$ 的二进制表示：$2023 = 11111100111_2$
  • 考虑乘法对二进制表示的影响
  • 寻找能够产生进位消除1的 $n$ 值
• 难度评估：中等，需要对二进制运算有深入理解

B3 锯齿序列的期望长度

题目：实数序列 $y_{1},y_{2},\ldots ,y_{k}$ 称为锯齿序列，如果 $k = 1$，或者 $y_{2} - y_{1},y_{3} - y_{2},\ldots ,y_{k} - y_{k - 1}$ 都非零且符号交替。设 $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ 独立地从 $[0,1]$ 上的均匀分布中选取。设 $a(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})$ 是最大的 $k$ 值，使得存在递增的整数序列 $i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}$，使得 $X_{i_{1}},X_{i_{2}},\ldots X_{i_{k}}$ 是锯齿序列。对于 $n\geq 2$，求 $a(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})$ 的期望值。

分析：

• 题目类型：概率论、组合数学
• 核心思路：计算随机序列中最长锯齿子序列的期望长度
• 解题要点：
  • 利用连续分布的性质（几乎必然不相等）
  • 可能与最长递增子序列问题相关
  • 需要考虑动态规划或递归关系
• 难度评估：较难，涉及复杂的概率计算

B4 分段二次函数的优化

题目：对于非负整数 $n$ 和严格递增的实数序列 $t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}$，设 $f(t)$ 是对应的实值函数，对 $t\geq t_{0}$ 定义如下：

(a) $f(t)$ 在 $t\geq t_{0}$ 上连续，在除 $t_{1},\ldots ,t_{n}$ 外的所有 $t > t_{0}$ 处二次可微
(b) $f(t_{0}) = 1 / 2$
© 对 $0\leq k\leq n$，$\lim_{t\to t_{k}^{+}}f^{\prime}(t) = 0$
(d) 对 $0\leq k\leq n - 1$，当 $t_{k}< t< t_{k + 1}$ 时 $f^{\prime \prime}(t) = k + 1$，当 $t > t_{n}$ 时 $f^{\prime \prime}(t) = n + 1$

考虑所有满足 $t_{k}\geq t_{k - 1} + 1$（$1\leq k\leq n$）的 $n$ 和 $t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}$ 的选择，使得 $f(t_{0} + T) = 2023$ 的 $T$ 的最小可能值是多少？

分析：

• 题目类型：微积分、优化问题
• 核心思路：构造满足条件的分段函数并最小化到达目标值的时间
• 解题要点：
  • 分段积分构造函数
  • 利用边界条件优化参数选择
  • 可能涉及变分法或拉格朗日乘数法
• 难度评估：很难，需要高级微积分技巧

B5 置换的模运算性质

题目：确定哪些正整数 $n$ 具有以下性质：对于所有与 $n$ 互质的整数 $m$，都存在置换 $\pi :\{1,2,\ldots ,n\} \to \{1,2,\ldots ,n\}$ 使得对所有 $k\in \{1,2,\ldots ,n\}$ 都有 $\pi (\pi (k))\equiv mk \pmod{n}$。

分析：

• 题目类型：数论、群论、置换
• 核心思路：分析置换群与模运算的关系
• 解题要点：
  • 置换的复合对应于模乘法
  • 需要考虑 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ 的结构
  • 可能与二次剩余或群的表示相关
• 难度评估：很难，需要深入的代数数论知识

B6 丢番图方程计数矩阵的行列式

题目：设 $n$ 是正整数。对于 $\{1,2,\ldots ,n\}$ 中的 $i$ 和 $j$，设 $s(i,j)$ 是满足 $ai + bj = n$ 的非负整数对 $(a,b)$ 的个数。设 $S$ 是 $n \times n$ 矩阵，其 $(i,j)$ 元素是 $s(i,j)$。

例如，当 $n = 5$ 时，$S = \left[ \begin{array}{lllll}6 & 3 & 2 & 2 & 2\\ 3 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 2 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1 & 1 & 2 \end{array} \right]$

计算 $S$ 的行列式。

分析：

• 题目类型：线性代数、数论、组合数学
• 核心思路：分析丢番图方程解的个数构成的矩阵的行列式
• 解题要点：
  • $s(i,j) = \lfloor n/\gcd(i,j) \rfloor + 1$ 当 $\gcd(i,j) | n$ 时
  • 利用最大公约数的性质
  • 可能需要用到数论函数或生成函数
• 难度评估：很难，需要深入的数论和线性代数知识

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总结

第84届普特南竞赛的题目涵盖了数学的多个重要分支，展现了以下特点：

题目分布

• 微积分与分析：A1, A3, B4
• 代数与数论：A2, A5, B2, B5, B6
• 几何与拓扑：A4
• 组合数学：A6, B1, B3
• 概率论：B3

难度分析

• 中等难度：A1, A6, B1, B2
• 较难：A2, B3
• 很难：A3, A4, A5, B4, B5, B6

解题技巧要点

1. 扎实的基础知识：需要掌握微积分、线性代数、数论等基础理论
2. 创新思维：许多题目需要非常规的解题思路
3. 计算技巧：精确的计算和巧妙的变换是关键
4. 跨领域综合：多数题目涉及多个数学分支的综合运用

这些题目不仅考查学生的数学知识深度，更重要的是考查数学思维的灵活性和创造性。对于准备参加普特南竞赛或提高数学水平的学生来说，这些题目提供了极好的练习材料。